Mechanika

Wstęp

Przedmiot Mechanika realizowany jest na 1 roku i 1 semestrze studiów wyższych I stopnia na Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie na kierunku Fizyka Techniczna.

Wstęp #2

Układy Odniesienia

• Kartezjański

  • współrzędne punktu opisane za pomocą wektora wodzącego \(\vec{r}\)

  • \(\vec{r} = \vec{r_x} + \vec{r_y}\)

  • współrzędne punktu są określane parą liczb \((x, y)\)

  • \(\vec{r_x} = r_x * \hat{n_x}\)

Ważne

Wersor to wektor o długości 1.
W Kartezjańskim układzie współrzędnych używany do ustalenia jednostki na osiach.
ozn: \(\hat{n_x}, \hat{n_y}\)
Co do samego wersora, to można powiedzieć że dla \(\vec{a}\) \(\frac{\vec{a}}{a} = \hat{a}\)

• Biegunowy

  • Współrzędne określane parą liczb \((|\vec{r}|, \phi)\)

  • \(\phi\) to kąt pomiędzy \(vec{r}\) a osią \(OX\)

  • wersory \(\hat{n_r}, \hat{n_{\phi}}\) oraz \(\hat{n_r} \perp \hat{n_{\phi}}\)

  • \(\vec{r} = r * \hat{n_r}\)

Ważne

Wersory układu biegunowego są zmienne

Informacja

Przejścia między układami odniesienia:

• Kartezjański \(\rightarrow\) biegunowy:

\[\begin{split} \vec{r} = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi = arctg(\frac{x}{y}) \end{split}\]

• Kartezjański \(\leftarrow\) biegunowy:

\[\begin{split} x = r * sin(\phi) \\ y = r * cos(\phi) \end{split}\]

Wskazówka

3-wymiarowa wersja układu biegunowego to układ sferyczny. Współrzędne w takim układzie określa następująca trójka uporządkowana: \((r, \theta, \phi)\)

Matma

Działania na wektorach

Informacja

Własności wektora:

• Punkt zaczepienia

• Wartość

• Kierunek

• Zwrot

• Dodawanie wektorów mam nadzieje że jest jasne

Wskazówka

odejmowanie wektorów \(\vec{a} - \vec{b}\) to po prostu \(\vec{a} + (-\vec{b})\)

• Mnożenie wektora przez skalar \(x * \vec{a} = [a_x * x, a_y * x]\) (oczywiście wszystkie inne duchowe wymiary obsługiwane)

• Mnożenie wektora przez wektor

  • wektorowy iloczyn skalarny (wynikiem jest skalar)

\[\begin{split} \vec{a} \cdot \vec{b} = a * b * cos \alpha = a_x * b_x + a_y * b_y \\ \end{split}\]

Ważne

\[ \bf{cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a * b}} \]

Wskazówka

\[ \bf{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0} \]

• wektorowy iloczyn wektorowy (wynikiem jest wektor)

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \]

Informacja

Kierunek wektora \(\vec{c}\) określa się na podstawie zasady śruby prawoskrętnej oraz \(\vec{a} \perp \vec{c} \land \vec{b} \perp \vec{c}\)

Z tego powodu \(\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}\)

\[\begin{split} niech ~ a, b, \alpha \\ |\vec{a} \times \vec{b}| = a * b * sin \alpha \end{split}\]

\[\begin{split} niech ~ \vec{a}, \vec{b} \\ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y * b_z - a_z * b_y, a_z * b_x - a_x * b_z, a_x* b_y - a_y * b_x) \end{split}\]

Informacja

Powyższy wzór otrzymamy rozważając następującą macierz:

\[\begin{split} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \\ \\ \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \color{gray}{\hat{i}} & \color{gray}\hat{j} & \color{gray}\hat{k} \\ \color{gray}a_x & \color{gray}a_y & \color{gray}a_z \\ \end{matrix} ~ W = \\ = \hat{i} * a_y * b_z + a_x * b_y * \hat{k} + b_x * \hat{j} * a_z - \hat{k} * a_y * b_x - a_z * b_y * \hat{i} - b_z * \hat{j} * a_x \\ = \hat{i} * (a_y * b_z - a_z * b_y) + \hat{j} *( a_z * b_x - a_x * b_z) + \hat{k} * (a_x * b_y - a_y * b_x) \\ \end{split}\]

Wskazówka

\[ \vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} \]

Rachunek różniczkowy

• pochodna określa jak szybko zmienia się funkcja w punkcie \(x_0\) względem \(x_1\)

• \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) to tzw. iloraz różnicowy

• \(f'(x)\) to granica ilorazu różnicowego przy \(\Delta x \rightarrow 0\)

• Wrażenie \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{d y}{d x}\) nazywamy różniczką

Wskazówka

\[\begin{split} niech f(x) = x^2 wtedy \\ \frac{dy}{dx} = \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2 x \Delta x + \Delta x^2 - x^2}{\Delta x} = \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 x \Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = \\ = \lim_{\Delta x \to 0} 2 x + \Delta x = \\ = 2x \end{split}\]

Wskazówka

\((e^x)' = e^x\)

Rachunek całkowy

Istnieją 2 typy całek

• Całka nieoznaczona:

  • pozwala na odnalezienie funkcji pierwotnej (z której powstała pochodna)

• całka oznaczona

  • może być interpretowana jako pole pod wykresem krzywej

\[\begin{split} niech F(x) = \int g(x) dx \\ dS = f(x)dx \\ S = \int_A^B f(x) dx \\ \int_A^B f(x) dx = F(B) - F(A) \end{split}\]

Podstawy Kinematyki

Ruch punktu materialnego na płaszczyźnie

Informacja

korzystamy z modelu punktu materialnego (pomijamy wszystkie statystyki z wyjątkiem masy)

Równanie ruchu: \(\vec{r}(t) = x(t) * \hat{n_x} + y(t) * \hat{n_y}\)

Prędkość

Prędkość Średnia

\(v_{śr} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta r}\)

Prędkość chwilowa

\[\begin{split} \lim_{\Delta r \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \\ \vec{V} = \frac{d \vec{r}}{d t} = \frac{d}{d t} (x * \hat{n_x} + y * \hat{n_y}) = \\ = \frac{dx}{dt}*\hat{n_x} + \frac{dy}{dt}*\hat{n_y} = \\ = v_x * \hat{n_x} + v_y * \hat{n_y} = \\ \bf{= \vec{v_x} + \vec{v_y}} \end{split}\]

Wskazówka

\(v\) jest zawsze styczne do toru, po którym porusza się ciało.

Informacja

• dla \(\vec{v} = const\) ruch jednostajny prostoliniowy \(\vec{r} = \vec{v} * t\)

\[\begin{split} \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} \\ d\vec{r} = \vec{v}dt \\ \int d\vec{r} = \int\vec{v}dt \\ \\ \int d\vec{r} = \vec{r}\\ \\ \vec{r} = \int\vec{v}dt \\ \\ dla ~ v = const \\ \int \vec{v}dt = \vec{v} \int dt \\ \\ \vec{r} = \vec{v}\int dt \\ \vec{r} = \vec{v}t + C \\ \end{split}\]

• ruch jest prostoliniowy, gdy kierunek prędkości jest stały

• ruch jednostajny krzywoliniowy występuje, gdy \(|\vec{v}| = const\)

Przyspieszenie

• określa szybkość zmiany prędkości

Przyspieszenie średnie i chwilowe

Przyspieszenie średnie definiujemy jako:

\[ a_{śr} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \]

Rzut ukośny (przykład 1)

Założenia początkowe

\[\begin{split} \vec{r_0} = [0,0] \\ \vec{v_0} = [\vec{v_0} cos \alpha, \vec{v_0} sin \alpha] \end{split}\]

Ostrzeżenie

Jedyną siłą działającą na ciało w rzucie ukośny jest grawitacja. \(a_x = 0 \\ a_y = -g\)

\[\begin{split} \int a_x dt = v_x \\ \int 0 dt = v_x \\ v_x = C_1 = v_0 cos \alpha \\ \\ \int a_y dt = v_y \\ \int -g dt = v_y \\ -g t + C_2 = v_y \\ dla~chwili~t_0:\\ -g * 0 + C_2 = \vec{v} sin \alpha \\ C_2 = v_0 sin \alpha \\ v_y = -gt + v_0 sin \alpha \\ \end{split}\]

\[\begin{split} x(t) = \int v_x dt \\ x(t) = \int v_0 cos \alpha dt \\ x(t) = v_0 cos \alpha t + C_3 \\ dla~t_0 ~ x=0 \Rightarrow C_3 = 0 \\ x(0) = v_0 cos \alpha t \\ \\ y(t) = \int v_y dt \\ y(t) = \int (-gt + v_0 sin \alpha) dt \\ y(t) = \int -gt dt + \int v_0 sin \alpha dt \\ y(t) = \frac{-gt^2}{2} + v_0 sin \alpha t + C_4 \\ dla~t_0~y_0 = 0 \Rightarrow C_4 = 0 \\ y(t) = \frac{-gt^2}{2} + v_0 sin \alpha t \\ \end{split}\]

Zasięg

\[\begin{split} t = \frac{x}{v_0 cos \alpha}\\ podstawienie~do~równania~y\\ y = \frac{-gx^2}{2v_0^2cos^2\alpha} + v_0 sin\alpha \frac{x}{v_0cos\alpha} \\ y = \frac{-gx^2}{2v_0^2cos^2\alpha} + x tg \alpha \\ \end{split}\]

\[ d = \frac{2v_0 sin\alpha*\cos \alpha}{g} = \frac{v_0 * sin 2 \alpha}{g} \]

Ruch łudki w poprzek rzeki (przykład 2)

Załorzenia

• prękdość rzeki na środku jest największa (przy brzegu prędkość wynosi 0) Profil prędkości sinusoidalny. (\(x = cos(\frac{\pi y}{L})\))

\[\begin{split} \vec{r} = \left[0,0\right] \\ v_x = v_0 * sin \alpha~v_0 cos\alpha* t \\ v_y = v_0 cos \alpha \end{split}\]

\[\begin{split} x(t) &= \int v_x dt \\ x(t) &= \int v_0 * sin(\alpha) dt \\ x(t) &= v_0 \frac{L}{\pi~v_1}*cos(\frac{\pi~v_1}{L})*t + C\\ C &= v_0 \frac{L}{\pi v_1} \\ x(t) &= - v_0 \frac{L}{\pi~v_1}*cos(\frac{\pi~v_1}{L})*t + v_0\frac{L}{\pi~v_1}\\ x(t) &= v_0 \frac{L}{\pi~v_1} * (-cos(\frac{\pi~v_1}{L})*t +1 )\\ \\ y(t) &= v_1 t\\ \\ x &= \frac{v_0 L}{\pi V_1}*(1-cos\frac{\pi L}{y}) \\ d &= \frac{2v_0L}{\pi v_1} \end{split}\]

Ruch względny i transformacja galileusza

Rozważmy dwa układy odniesienia (\(S\) i \(S'\)). \(\vec{V_U} = const\) - prędkość \(S'\) względem \(S\).

Ważne

Załużmy, że \(X \parallel X'\)

Informacja

\[\begin{split} S \Leftrightarrow S' \\ t' = t = t_0 \end{split}\]

Załużmy punkt \(A\), wtedy jego położenie można określić zrówno jako \(\vec{r}\) względem \(S\) oraz \(\vec{r'}\) względem \(S'\)

Transformacja to związek między \(\vec{r}\) a \(\vec{r'}\).

Niech \(\vec{R}\) to wektor określający położenie \(S'\) względem \(S\)

Informacja

\[\begin{split} dla~t_0 \\ \vec{R} = 0 \\ \vec{R} = v_u * t \end{split}\]

niech \(R_x = R \land R_y = 0 \land R_z = 0\)

\[\begin{split} \vec{r'} = \vec{r} - \vec{R} \\ x' = r_x - v_u t \end{split}\]

\[ v_x' = v_x - v_u \]

Wskazówka

Przyspieszenie w obu układach jest stałe \(\Leftrightarrow\) wykonują one względem siebie ruch jednostajny prostoliniowy

Dynamika ruchu po okręgu

\[ \omega = \frac{d\phi}{dt} \]

\[ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \]

Wskazówka

\(\vec{\omega}\) jest prostopadły do wektora prędkości i promienia wodzącego (prostopadły do płaszczyzny na której odbywa sie ruch)

Przyspieszenie kątowe \(\epsilon = \frac{d \omega}{dt}\)

\[\begin{split} \vec{a} &= \frac{d\vec{v}}{dt} \\ \vec{a} &= \frac{d(\vec{\omega} \times \vec{r})}{dt} \\ \times~\text{traktujemy jak zwykłe mnożenie i liczymy pochodną}\\ \vec{a} &= \frac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{r} + \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{\omega} \\ \vec{a} &= \vec{\epsilon} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v} \\ \end{split}\]

Względność ruchu po okręgu

Niech \(S'\) będzie układem inercjalnym względem \(S\). Niech \(z = z'\) i niech \(\vec{\omega}_{S'} \parallel z \parallel z'\)

Dla \(t = t' = 0 \quad x = x' \land y = y'\)

\(\bf{\vec{v} \leftrightarrow \vec{v'}}\)

\[\begin{split} dla~\vec{v'} = 0 &\qquad \vec{v} = \vec{\omega}\times \vec{r} \\ dla~\vec{v'} \neq 0 &\qquad \vec{v} = \vec{\omega}\times \vec{r} + \vec{v'} \\ \end{split}\]

dla układu biegunowego

\[\begin{split} \hat{n_r} &= cos \phi \hat{n_x} + sin \phi \hat{n_y} \\ \hat{n_\phi} &= -sin \phi \hat{n_x} + cos \phi \hat{n_y} \\ \\ \vec{v} &= \frac{d}{dt} (r \hat{n_r}) \\ \vec{v} &= \frac{dr}{dt} \hat{n_r} + \frac{d\hat{n_r}}{dt} r \\ \vec{v} &= \frac{dr}{dt} \hat{n_r} + r \frac{d}{dt}\left(cos \phi \hat{n_x} + sin \phi \hat{n_y} \right) \\ \vec{v} &= \frac{dr}{dt} \hat{n_r} + r \left(\frac{d\phi}{dt} (-sin \phi) \hat{n_x} + \frac{d\phi}{dt} cos \phi \hat{n_y} \right) \\ \vec{v} &= \frac{dr}{dt} \hat{n_r} + r \frac{d\phi}{dt} \bf{\left(-sin \phi \hat{n_x} + cos \phi \hat{n_y} \right)} \\ \vec{v} &= \frac{dr}{dt} \hat{n_r} + r \frac{d\phi}{dt} n_\phi \\ \end{split}\]

\(\bf{\vec{a} \leftrightarrow \vec{a'}}\)

\[\begin{split} \vec{a} = \vec{a'} + 2\vec{\omega} \times \vec{v} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})\\ \end{split}\]

dla układu biegunowego

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \vec{a} &= a_r \hat{n_r} + a_\phi \hat{n_\phi} \\ a_r = \frac{dv_r}{dt} &\quad a_\phi = \frac{dv_\phi}{dt}\\ \vec{a} &= \frac{dv_r}{dt} \hat{n_r} + \frac{dv_\phi}{dt} \hat{n_\phi} \\ \vec{a} &= \frac{d}{dt}\left(\frac{dr}{dt} \hat{n_r} + r\frac{d\phi}{dt} \hat{n_\phi}\right) \\\end{split}\\\begin{split}niech~x = \frac{d}{dt}\left(\frac{dr}{dt} \hat{n_r}\right) &\land y = \frac{d}{dt}\left(r \frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi}\right) \\\end{split}\\\begin{split}x = \frac{d^2r}{dt^2} \hat{n_r} + \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi} &\land y = \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi} + r \frac{d}{dt}\left(\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi} \right)\\\end{split}\\\begin{split}&~y = \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi} + r \left(\frac{d^2\phi}{dt^2}\hat{n_\phi} + \frac{d\phi}{dt}\frac{d \hat{n_\phi}}{dt} \right)\\ \frac{dn_\phi}{dt} &= \frac{d}{dt}\left(-sin\phi\hat{n_x} + cos\phi\hat{n_y}\right) \\ \frac{dn_\phi}{dt} &= \frac{d\phi}{dt}\left(-cos\phi\hat{n_x} - sin\phi\hat{n_y}\right) \\ \frac{dn_\phi}{dt} &= -\frac{d\phi}{dt}\bf{\left(cos\phi\hat{n_x} + sin\phi\hat{n_y}\right)} \\ \frac{dn_\phi}{dt} &= -\frac{d\phi}{dt}\hat{n_r} \\ &~y = \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi} + r \left(\frac{d^2\phi}{dt^2}\hat{n_\phi} - \frac{d^2\phi}{dt^2} \hat{n_r} \right)\\ \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \vec{a} = \frac{d^2r}{dt^2} \hat{n_r} + \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi} + \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi} + r \left(\frac{d^2\phi}{dt^2}\hat{n_\phi} - \frac{d^2\phi}{dt^2} \hat{n_r} \right) \\\end{split}\\\begin{split}\vec{a} = \color{red}{\frac{d^2r}{dt^2} \hat{n_r}} + \color{green}{\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi}} + \color{green}{\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{n_\phi}} \color{green}{+ r \frac{d^2\phi}{dt^2}\hat{n_\phi}} \color{red}{- r \frac{d^2\phi}{dt^2} \hat{n_r}} \\\end{split}\\\begin{split}\vec{a} = \color{red}{\hat{n_r}\left(\frac{d^2r}{dt^2} \hat{n_r} - r\frac{d^2\phi}{dt^2}\right)} \color{green}{+\hat{n_\phi}\left(\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt} + \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+ r \frac{d^2\phi}{dt^2}\right)}\\ \\ \left\{\begin{matrix} a_x = \hat{n_r}\left(\frac{d^2r}{dt^2} - r\frac{d^2\phi}{dt^2}\right) \\ a_y = +\hat{n_\phi}\left(\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt} + \frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+ r \frac{d^2\phi}{dt^2}\right)\\ \end{matrix}\right. \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Przyspieszenie styczne i normalne

\[\begin{split} a_s = \frac{d\left|\vec{v}\right|}{dt} \\ \vec{v} = \hat{n_s} v \\ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \\ \vec{a} = \frac{dv}{dt} \hat{n_s} + \frac{d\hat{n_s}}{dt} v \\ \end{split}\]

z tożsamości wersorów stycznego i transwersalnego

\[\begin{split} \vec{a} = \frac{dv}{dt} \hat{n_s} - \hat{n_n} v \\ \end{split}\]

Dynamika

Prawo bezwładności aka I Zasada Dynamiki Newtona

Definicja

Swobodny* punkt materialny** zawsze wykonuje ruch jednostajny prostoliniowy

Informacja

* Swobodny - nie oddziaływuje z innymi ciałami \((\vec{a} = 0)\)
** Punkt materialny - model bezywmiarowego ciała, w którym jedyną istotną statystyką jest masa

Wskazówka

Układy inercjalne to takie, które wykonują względem siebie jedynie ruch jednostajny prostoliniowy.

Pęd

Pęd

\(\vec{p} = m \vec{v}\)

Wskazówka

\(p = \left[kg*\frac{m}{s}\right]\)

Informacja

Działa zasada zachowania pędu

Całkowity pęd ukłądy, na którego nie oddziaływują siły zewnętrzne jest stały

Manewr grawitacyjny

Manewr grawitaqcyjny (aka Gravity Assistance - GA) - wykorzystanie zjawisk grawitacyjnych do zwiększenia prędkości obiektu.

Zasady dynamiki Newtona

II Zasada Dynamiki Newtona

\[ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \]

III Zasada Dynamiki Newtona

\[\begin{split} \Delta p_1 &= -\Delta p_2 \\ \frac{d\vec{p_1}}{dt} &= -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \\ \vec{F_1} &= -\vec{F_2} \end{split}\]

\[\begin{split} \vec{F} &= \frac{d\vec{p}}{dt} \\ \vec{F} &= \frac{d}{dt}(m \vec{v}) \\ \bf{dla~m=const} \\ \vec{F} &= m \frac{d\vec{v}}{dt} \\ \vec{F} &= m \vec{a} \\ \end{split}\]

Układy nieinercjalne i siły bezwładności

Układy Inercjalne (UI)	Układy Nieinercjalne (UN)
\(\vec{u} = const\)	\(\vec{u} \neq const\)
\(a = a'\)	\(\vec{a'} = \vec{a} - \vec{a_u}\)
\(\vec{F'} = \vec{F}\)	\(\vec{F} = \vec{a}m - m\vec{a_u}\)

Ważne

W układzie nieinercjalnym obserwator zawsze stwierdzi istnienie siły bezwładnoći \(\vec{F_b}\)

Przykłady

• wachadło stożkowe (zwykłę wachadło wprowadzone w ruch kołowy) w układzie inercjalnym powiązanym z kulką wahadła można zaobserwować siłę odśrodkową (czyli siłę bezwładności)

• Winda

Siły działające na ciała na powierzchni ziemii

\[\begin{split} \vec{a} = \vec{a'} + 2 \vec{\omega} \times \vec{v'} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'}) \\ \vec{a'} = \vec{a} - 2 \vec{\omega} \times \vec{v'} - \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'}) \\ m \vec{a'} = m \vec{a} - 2m \vec{\omega} \times \vec{v'} - m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'}) \\ \vec{F'} = \vec{F} - \vec{F_c} - \vec{F_{od}} \\ \vec{F_c} = -2m \vec{\omega} \times \vec{v} \\ \vec{F_{od}} = -m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'}) \end{split}\]

Siła Coriolisa \(\vec{F_c}\)

• znika dla ciał nieruchomych

• jest prostopadła do prędkości

• powoduje zakrzywienie toru

Tor spadającego ciała odchyli się na wschód.

Wskazówka

Ciało w rzucie poziomym npl. \(\vec{v'}\) na zachód, Siła Coriolisa odchyli ciało na północ

Informacja

Wachadło fuco - doświadczenie pozwalające udowodnić że ziemia się obraca - istnieje siła Coriolisa

Zastosowania praw dynamiki

Ważne

Przy rozwiązywaniu zadań należy pamiętać o kilku istotnych elementach, m.in:

• Duży rysunek

• Oznaczenie wszystkich istotnych sił

• Wypisanie równań dynamiki (należy uwzględnić tyle równań, ile jest ciał w układzie)

• Bilans równań i niewiadomych

• Jeśli konieczne - poszukać dodatkowych równań (np. związki sił)

maszyna Atwooda

Informacja

Na bezwładnym bloczku na nieważkiej nici zawieszono dwie masy: \(m_1\) i \(m_2\)

Jakie będzie przyspieszenie układu?

\[\begin{split} \left\{ \begin{matrix} m_1 * a_1 = m_1 * g - N \\ m_2 * a_2 = N - m_2 * g \\ a_1 = a_2 \end{matrix}\right. \\ +\left\{ \begin{matrix} m_1 * a = m_1 * g - N \\ m_2 * a = N - m_2 * g \\ \end{matrix}\right. \\ a* (m_1 + m_2) = m_1 * g - m_2 * g \\ a = g * \frac{m_1 - m_2}{m_1+m_2} \end{split}\]

Siły tarcia

Siła tarcia

Tarcie występuje gdy jedno ciało porusza się względem drugiego oraz występuje siła dociskająca je do siebie.

• tarcie kinetyczne ma miejsce gdy jedno ciało przesuwa się o powierzchni drugiego

\[ T = \mu * N \]

Ważne

Współczynnik tarcia kinetycznego \(\mu\) - wartość tablicowa.

Tarcie Statyczne

Tarcie statyczne

równoważy siłę zsuwającą

• nie jest określone konkretnym wzorem

• \(T_s \in \left<0, T_{s_{max}}\right>\)

• \(T_{s_max} = \mu_s N\)

• Najczęściej \(\mu_s > \mu\)

Ciało na równi pochyłej

\[\begin{split} a = g * (sin~\alpha - k * cos~\alpha) \Leftrightarrow k * cos~\alpha > sin~\alpha \\ \end{split}\]

Wskazówka

kąt graniczny przejścia tarcia kinetycznego na statyczne gdy \(tg \alpha = k\)

Ruch pod wpływem siły sprężystej

Prawo Hooke’a

\(F = -kx\)

Równanie dynamiki dla oscylatora harmonicznego

\[\begin{split} F = -kx \\ am = -kx \\ \frac{d^2 x}{dt^2} m = -k x \\ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \\ \bf{\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0} \\ niech \frac{k}{m} = \omega^2 \\ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0 \\ \end{split}\]

Ważne

Równania różniczkowe - równania, w których szukana zmienna znajduje się pod pochodną

Wskazówka

równanie \(\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0\) jest:

• zwyczajne (jednej zmiennej)

• liniowe

• o stałych współczynikach (\(\omega = const\))

• jednorodne (po prawej stronie jest 0)

\[\begin{split} x(t) = C_1 * e^{\lambda_1 t} + C_2 * e^{\lambda_2 t} \\ \end{split}\]

\(C_1\) i \(C_2\) otrzymujemy z warunków początkowych \(\lambda\) z technicznego podstawienia

\[\begin{split} x = e^{\lambda t} \\ \frac{d x}{dt} = \lambda e^{\lambda t} \\ \frac{d^2 x}{dt^2} = \lambda^2 e^{\lambda t} \\ \\ \lambda^2 e^{\lambda t} + \omega^2 e^{\lambda t} = 0 \\ \lambda^2 = -\omega^2 \end{split}\]

\[\begin{split} \lambda^2 = - \omega^2 \\ \lambda_1 = i \omega \\ \lambda_2 = -i \omega \\ x(t) = C_1 * e^{i \omega * t} + C_2 * e^{-i \omega * t} \\ niech~C_1 = C_2 = C \\ x(t) = C * e^{i \omega * t} + C * e^{-i \omega * t} \\ x(t) = C * (cos (\omega t) + i~sin(\omega t)) + C * (cos (\omega t) - i~sin(\omega t)) \\ x(t) = 2C * cos (\omega t) \\ niech~2C = A \\ x(0) = A \\ \end{split}\]

\[\begin{split} m \frac{dv}{dt} = \frac{dp}{dt} - v_g \frac{dm}{dt} \\ \end{split}\]

Ważne

Wzór Ciołkowskiego

\[ v_k = v_p ln \frac{m_p}{m_k} \]

Dynamika ruchu krzywoliniowego punktu materialnego

Informacja

• siła styczna - \(m * \frac{dv}{dt}\)

• siła normalna - \(m * \frac{v^2}{\rho}\)

Moment Siły

Moment Siły

\[ \vec{\tau} = \vec{F} \times \vec{r} \]

Moment Pędu:

\[\begin{split} \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \\ \frac{dL}{dt} = \frac{dr}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} \\ \frac{dL}{dt} = \vec{v} \times \vec{p} + \vec{r} \times \vec{F} \\ \frac{dL}{dt} = \vec{v} \times \vec{v} * m + \vec{r} \times \vec{F} \\ \frac{dL}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} \\ \\ \vec{L} = m * \vec{r} \times \left(\vec{\omega} \times \vec{r} \right) \\ \end{split}\]

Wskazówka

Dla ruchu punktu materialnego na płaszczyźnie: \(L = \omega m r^2\)

Siła Centralna

• \(\vec{F} \parallel \vec{r}\)

Informacja

Jeżeli ciało wykonuje ruch pod wpływem siły centralnej, to jego moment pędu względem centrum siły jest stały

Praca i Energia

Praca

\[\begin{split} W = \vec{F} * \vec{s} \\ W_{AB} = \int_A^B F * r \\ \bf{W = \int_A^B \vec{F}(\vec{r}) * dr} \end{split}\]

Przykład

Praca siły oscylatora harmonicznego

\[\begin{split} \int_0^{x_0} kx dx = k \int_0^{x_0} x dx = \\ = k \left[\frac{1}{2} x^2 \right]_0^{x_0} = \\ \\ = k \left(\frac{x_0^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = \\ = \frac{1}{2} k x_0^2 \end{split}\]

Moc

\[ P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F} * d\vec{r}}{dt} = \vec{F} * \vec{v} \]

Energia

Energia Kinetyczna

\[\begin{split} W = \int_A^B F ds = \int_A^B m \frac{dv}{dt} ds = m \int \frac{ds}{dt} dv = \\ = m \int_A^B v dv = m \left[\frac{v^2}{2}\right]_A^B = \\ = m (\frac{v_B^2}{2} - \frac{v_A^2}{2}) \end{split}\]

Energia Potencjalna

\[\begin{split} niech F = const\\ \int_A^B F dr = F \int_A^B dr = F \left[r\right] \\\end{split}\]

Siła Zachowawcza

Siła Zachowawcza

to taka, dla której praca nie zależy od toru.

Wskazówka

Aby sprawdzić czy siłą jes zachowawcza należy obliczyć rotację siły

niech F będzie siłą zachowawczą \(F \leftrightarrow E_p\)

\[\begin{split} dW = F * dr = F_s * ds = -dE_p \\ \vec{F} = grad E_p \\ F(\vec{r}) = - \frac{dE_p}{dr} \end{split}\]

Ważne

\(E_k + E_p = const\)

Informacja

Energia oscylatora harmonicznego

\[\begin{split} E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{\frac{dx}{dt}^2 m}{2} \\ E_k = \frac{m}{2} A^2 \omega^2 cos^2 \omega t \\ \\ E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{k}{2} A^2 cos^2 \omega t \\ E_p + E_k = \frac{m \omega^2 A^2}{2} \end{split}\]

Siła oporu w ośrodku lepkim

\[\begin{split} F_{op} \sim v \\ F_{op} = -K \eta \vec{v} \end{split}\]

gdzie:

• \(\eta\) - współczynnik lepkości

• K - współczynnik oporu

Wskazówka

Dla kuli \(k = 6 \pi R\)

Wzór Stoksa

\(F_{op} = -6 \pi \eta R \vec{v}\)

Spadek w powietrzu

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} v(t) = ? \\ F_w = m * g - bv \\ v_\infty= \frac{mg}{b} \\\end{split}\\\begin{split}m * \frac{dv}{dt} + bv = mg \\ \frac{dv}{dt} + \frac{bv}{m} = g \\ \frac{d^2v}{dt^2} + \frac{b}{m} * \frac{dv}{dt} = 0 \\ \lambda^2 + \frac{b}{m} * \lambda = 0 \\ v = C_1 * e^0t + C_2 e ^{-\frac{b}{m}t} \\ v' = C_2 * (\frac{-b}{m}) e ^{-\frac{b}{m}t} \\ C_1 = \frac{mg}{b} \\ v(t=0) = 0 \\ C_2 = -\frac{mg}{b} \\ v(t) = \frac{mg}{b} \left(1-e^{-\frac{m}{b}t}\right) \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Dynamika ciało o zmiennej masie

3 przykłady

• Na jadącej po poziomym torze platformie osadza się śnieg

\[\begin{split} M = m_0 + \mu * t \\ \mu = \frac{d m}{dt} \\ F = \frac{dp}{dt} \\ dp = (m + dm) * (v + dv) -mv \\ dp = dm * v + m * dv + dm * dv \\ dm * dv \to 0 \\ dp = dm * v + m * dv \\ dp = d(mv) \\ F = 0 \Rightarrow d(mv) = 0 \Rightarrow mv = const \\ mv = m_0 v_0 \\ v = \frac{m_0 v_0}{m} \\ v = \frac{m_0 v_0}{\mu * t} \\ \end{split}\]

• Siła jest stała

\[\begin{split} niech~v_0 = 0\\ v(t) = ? \\ m = m_0 + \mu * t \\ \mu = \frac{d \mu}{dt} \\ F = \frac{dp}{dt} \\ dp = (m + dm) * (v + dv) -mv \\ dp = dm * v + m * dv + dm * dv \\ dp = dm * v + m * dv \\ dp = d(mv) \\ F = \frac{dp}{dt} \\ F = \frac{d(mv)}{dt} \\ d(mv) = F * dt \\ \int d(mv) = \int F * dt \\ mv = F * t + C \\ m * 0 = F * 0 + C \Rightarrow C = 0 \\ v = \frac{F * t}{m} \\ v = \frac{F * t}{m_0 + \mu t} \\ \end{split}\]

• Utrata masy

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} niech~F = const \\ v(t) = ? \\ m = m_0 - \mu * t \\\end{split}\\\begin{split}F = \frac{dp}{dt} \\ \text{Masa którą tracimy również ma prędkość v, z tąd należy uwzględnić jej pęd}\\ dp = ((m - dm) * (v + dv) + dm * v) - mv \\ dp = m * dv \\\end{split}\\\begin{split}F = \frac{dp}{dt} \\ F = \frac{m * d(v)}{dt} \\ m * dv = F * dt \\ \int (m_0 - dm)dv = \int F * dt \\\end{split}\\\begin{split}v = - \frac{1}{\mu} ln(m_0 - \mu t) * F + C \\\end{split}\\\begin{split}v = \frac{F}{\mu} ln \frac{m_0}{m_0 + \mu t} \\ \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Dynamika rakiety

• \(v_g\) - prędkość gazów względem rakiety \(v_g = v' - v\)

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} niech~F = const \\ v(t) = ? \\ m = m_0 - \mu * t \\\end{split}\\\begin{split}// dp = ((m + dm) * (v + dv) + (-dm) * v') - mv \\ dp = m * dv - v_g dm \\\end{split}\\\begin{split}F = \frac{dp}{dt} \\ F = \frac{d(mv)}{dt} \\ m d(v) = F * dt \\ \int (m_0 - dm)dv = \int F * dt \\\end{split}\\\begin{split}v = - \frac{1}{\mu} ln(m_0 - \mu t) * F + C \\\end{split}\\\begin{split}v = \frac{F}{\mu} ln \frac{m_0}{m_0 + \mu t} \\ \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Energia w płaskim ruchu krzywoliniowym

\[\begin{split} E = \frac{mv^2}{2} + E_p \\ E = \frac{m}{2}((\frac{dr}{dt})^2 + (\frac{d \phi}{dt})^2 * r^2) +E_p \\ \vec{L} = m r^2 * \vec{\omega} \\ E = \frac{m}{2}\left(\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + \omega^2 * r^2\right) +E_p \\ E = \frac{m}{2}\left(\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + (\frac{L}{mr})^2\right) +E_p \\ E = \frac{m}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + \frac{L^2}{2mr^2} +E_p \\ \end{split}\]

niech siła będzie centralna

\[\begin{split} \frac{L^2}{2m} = const = C \\ E = \frac{m}{2}(\frac{dr}{dt})^2 + \frac{C}{r} +E_p \\ \end{split}\]

Ruch drgający

Kinematyka prostego ruchu harmonicznego

\[\begin{split} x(t) = A sin(\omega * t + \phi_0) \\ \omega = \frac{2 \pi}{T} \\ \hat{x} = \hat{A} e^{i * \omega t} \\ \hat{A} = e^{i \phi} \end{split}\]

Wachadło matematyczne

Informacja

Wachadłęm matematycznym nazywamy punktową mase \(m\) zawieszoną na nieważkiej, nierozciągliwej i nieskończenie cienkiej nici o dlugości \(L\)

\[\begin{split} F = am \\ g sin \alpha = L \frac{d^2 x}{dt^2} \\ \frac{g sin \alpha}{L} = \frac{d^2 x}{dt^2} \\ \text{niech} sin \alpha \approx \alpha \\ g \alpha = L \frac{d^2 x}{dt^2} \\ \alpha(t) = A sin(\omega t + \phi_0) \\ \omega^2 = \frac{g}{L} \\ \omega = \frac{2\pi}{T} \\ T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} Jeżeli~sin \alpha \neq \alpha \\ T' = T'_ 0 \sqrt{1+\frac{\alpha_0}{16} + ...} \end{split}\]

Superpozycja drgań prostych

• dla \(\phi = 0 \quad \alpha = (A_1 + A_2) cos(\omega t)\)

• dla \(\phi = \pi \quad \alpha = |A_1 - A_2| cos(\omega t)\)

\[\begin{split} \hat{x} = \hat{A} e^{i(\omega t+\phi)} \\ \hat{x_1} + \hat{x_2} = e^{i \omega t}(\hat{A_1} + \hat{A_2} e^{i \phi}) \\ \end{split}\]

\(\omega_1 \neq \omega_2\)

Niech \(\phi = 0\)

• Niech \(A_1 = A_2\)

\[ x_1 + x_2 = A cos \omega_1 t + A cos \omega_2 t x = 2A_1 cos \frac{\omega_1 t - \omega_2 t}{2} * cos \frac{\omega_1 t + \omega_2 t}{2} \]

• \(x_1 \perp x_2\)

\[\begin{split} x_1 = A cos(\omega t) \\ x_1 = B cos(\omega t) \\ \end{split}\]

\[ E_p = C + \frac{1}{2}k (x-x_0)^2 \]

Drgania Harmoniczne tłumione

\[\begin{split} \vec{F} = b \vec{v} \\ \\ m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0 \\ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = 0 \\ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \\ \\ \frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \\ \\ x = e^{\lambda t} \\ \lambda^2 + 2 \beta \lambda + \omega_0^2 = 0 \\ \Delta = 4 \beta^2 - 4 \omega_0^2 \\ \Delta = -4 (\omega_0^2 - \beta^2) \\ \end{split}\]

Występują 3 przypadki:

• przypadek słabego tłumienia: \(\beta < \omega_0 \Rightarrow \Delta < 0\)

\[\begin{split} \sqrt{\Delta} = 2i \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \\ niech~\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \\ \sqrt{\Delta} = 2i \omega' \\ \\ \lambda_1 = \frac{-2\beta - 2i \omega'}{2} \\ \lambda_1 = -\beta - \omega' \\ \lambda_2 = -\beta + \omega' \\ x = C_1 e^{(-\beta - \omega') * t} + C_2 e^{(-\beta + \omega') * t} niech~C_1 = C_2 \\ x = Ce^{-\beta t}( e^{i \omega' * t} + e^{-i \omega' * t}) \\ \text{z eulera} \\ x = Ce^{-\beta t} 2 cos \omega' t \\ niech~2C=A \\ x = A * e^{-\beta t} 2 cos \omega' t \\ \end{split}\]

• silne tłumienie

Obydwa pierwiastki z delty są rzeczywiste Nie pojawiaja się funkcje trygonometryczne \(\Rightarrow\) nie pojawiają się drgania. Występuje pęzanie

• tłumienie krytyczne \(\omega_0 = \beta\)

Drgania wymuszone i rezonans

\[\begin{split} F_w(t) = F_0 * sin(\omega t) \\ am = -kx - bv + F_w \\ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} sin(\omega t) \\ x(t) = A sin(\omega t + \delta) \\ \frac{d^2 \hat{x}}{dt^2} + 2\beta \frac{d\hat{x}}{dt} + \omega \hat{x} = \frac{F_0}{m} e^{i \omega t} \\ \hat{x} = \hat{A} e^{i\omega t} \\ \\ ... \\ \\ \hat{A} (\omega_0^2 - \omega^2 + 2 \beta \omega i) = \frac{F_0}{m} \\ \bf{\hat{A} = \frac{\frac{F_0}{m}}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2 i \beta \omega}} \end{split}\]

\[\begin{split} A = |\hat{A}| = \frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 - 4 \beta^2 \omega^2}} \\ tg \delta = - \frac{2 \beta \omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{split}\]

Analiza Furiera Ruchu Harmonicznego

Informacja

funkcja jest okresowa jeżeli \(x(t+T) = x(t)\), wtedy \(T\) nazywamy okresem.

\[ niech~x(t) = C_1 cos(\omega t) + C_2 sin(\omega t) \]

Twierdzenie Furiera

Każda funkcja okresowa o okresie T może być przedstawiona jako suma funkcji sinusoidalnych w następującej postaci:

\[\begin{split} x(t) = a_0 + a_1 cos (\omega t) + a_2 cos (2 \omega t) + ... + a_n cos (n \omega t) + \\ + b_1 sin (\omega t) + b_2 sin (2 \omega t) + ... + b_n sin( n \omega t) \end{split}\]

Wskazówka

To ile wyrazów ww. ciągu należy użyć zależy od tego jak bardzo wykres danej funkcji różni się od sinusoidy

Reprezentacja ruchu drgającego w przestrzeni fazowej

Przestrzzeń Fazowa

Przestrzeń zależności położeń i pędów (lub położeń i prędkości). Wymiar przestrzeni fazowej wynosi dla 3-wymiarowego ruchu 6n dla n cząstek

Niech:

ruch 1-wymiarowy,

\[\begin{split} x = A cos \omega t \\ v = A \omega sin \omega t \\ \frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{A^2 \omega^2} = 1 \end{split}\]

Wykres \(V(x)\)

Wskazówka

załóżmy wachadło matematyczne skłądająće się z nieważkiego sztywnego pręta oraz masywnej kulki.

\[\begin{split} E_p = mgh \\ E_p = mg \left(L - L cos \alpha \right) \\ \end{split}\]

Szukamy wykresu ruchu w przestrzenii fazowej

dla dużych amplitud pręta elipsa opisująca drgania (patrz wykres powyżej) staje się coraz bardziej krzywą przypominającą “romb”

Informacja

Punkt osobliwy - punkt w którym zachowanie ukłądu jest nieokreślone - na przykłąd gdy nasz pręt jest skierowany pionowo do góry a jego prędkość jest zerowa nie wiadomo w którą stronę rozpocznie się ruch

atraktor

kształt do którego dążą wszystkie trajektorie przy \(t \to \infty\)

Tłumienie i wymuszenie

• trajektorią ruchu harmonicznego oscylatora tłumionego jest spirala.

• dla ruchu wymuszonego atraktorem jest elipsa

Dygresja

Atraktorem trajektorii w dynamice jest elipsa, a w ewolucji krab

Informacja

Problem 3 mas - rozważmy ruch jednego ciała w polu grawitacyjnym dwuch nieruchomych gwiazd…

Chaos

\[\begin{split} F_s = -kx \\ F_w-bv \end{split}\]

• nieliniowość

• czułość na warunki początkowe

bifurkacja

Dla pojedynczej nieliniowości występuje podwojenie okresu, czyli ciało powraca do tego samego punktu po przebyciu dwuch okresów.

Ważne

Ukłąd opisany całkowicie deterministycznymi równaniami staje się nieprzewidywalny jeżeli istotne jest niedokładne określenie warunków początkowych.

Zachowanie układu chaotycznego w czasie jest nieregularne i nieprzewidywalne.

Grawitacja

Prawa Kepplera

I Prawo Kepplera

Planety poruszają się po elipsach.

II Prawo Kepplera

Wektor wodząćy planety zartacza równe pola powierzchni w równych przedziałach czasu

III Prawo Kepplera

Kwadraty okresów obiegóœ planet są proporcjonalne do sześcianów i ch średnich odległości od Słońca.

\[ \bf{\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}} \Rightarrow \frac{T^2}{a^3} = const \]

Dynamika planet według Newtona

Rozważmy pojedynczy wycinek trajektorii planety. Po przypliżeniu fragmentu łuku do prostej:

\[\begin{split} s = \frac{1}{2} R h \\ \alpha = \frac{h}{r} \\ \alpha = \omega * \Delta t \\ L = mr^2 \omega \Delta t \\ \vec{L} = const\\ \end{split}\]

Ważne

Siła odpowiadająca za ruch planety jest centralna

\[\begin{split} F(R) \sim \frac{1}{R^2} \\ F(R) = G \frac{m M}{r^2} \\ \end{split}\]

Masa Ziemii

\[ M_z = \frac{g R_z^2}{G} \]

Oddziaływanie grawitacjyne

Oddziaływanie grawitacyjne między dwoma ciałąmi jest opisane przez centralną siłę przyciągającą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

Wskazówka

• natężenie pola grawitacyjnego oznaczamy jako \(\vec{\gamma}\)

\[ \vec{\gamma} = \frac{\vec{F}}{m} \quad \left[\gamma\right] = \frac{m}{s^2} \]

Zasada superpozycji pól

Nateżenie pola grawitacyjnego wytworzonoego przez układ mas jest równe sumie wektorowej pól wytworzonych przez poszczególne składniki.

Potencjał

\[ \Phi = \frac{E_p}{m} \]

\[\begin{split} F(R) = -G \frac{Mm}{r^2} \\ E_P = \int G \frac{Mm}{R^2} = G M m \frac{-1}{R} + C \end{split}\]

Energia Potencjalna

Ruch w centralnym polu grawitacyjnym

Rozważamy dwie masy: Masę centralną (np. Słońce) oraz ciało w małej masie.

Obiekt wpada w pole grawitacyjne M z prędkością \(v_0\).

Opis krzywych stożkowych w biegunowym układzie współrzędnych

załużmy dodatkową prostą pionową w układzie w odległlości d od bieguna (kierownica).

rozważmy dwa parametry:

• r - długość wektora

• odległość punktu od kierownicy: \(r - d * cos \phi\)

zbiór wszystkich punktów równo odległych od bieguna i kierownicy tworzy parabolę.

\[ \frac{r}{d-r cos \phi} = 1 \]

Niech:

\[\begin{split} \frac{r}{d-r cos \phi} = \epsilon = const \\ r = \frac{\epsilon d}{1+ \epsilon cos \phi} \\ niech~p = \epsilon d \\ \bf{r = \frac{p}{1+\epsilon cos \phi}} \end{split}\]

Informacja

\(\epsilon\) nazywamy mimośrodem.

Wskazówka

wartość mimośrodu dla paraboli wynosi 1

Informacja

• dla \(\epsilon = 0\) równanie opisuje okrąg (nie ważne że w p jest epsilon)

• dla \(\epsilon \in (0,1)\) - elipsa

• dla \(epsilon = 1\) - parabola – dla \(\epsilon > 1\) - hiperbola

twierdzenie o krzywych stożkowych

\[\begin{split} E_k = \frac{mv^2}{2} = \\ E_p = G \frac{mM}R \\ \\ E_C = \frac{m}{2} * \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + \frac{L^2}{2mr^2}-G\frac{Mm}{R} \\ \frac{m}{2} * \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 =-E_c - \frac{L^2}{2mr^2}+G\frac{Mm}{R} \\ \left(\frac{dr}{dt}\right)= \sqrt{\frac{2}{m}(E_c +G\frac{Mm}{R}) - \frac{L^2}{m^2r^2}} \\ dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E_c +G\frac{Mm}{R}) - \frac{L^2}{m^2r^2}}} \\ \\ \omega = \frac{d \phi}{dt} = \frac{L}{mr^2} dt = \frac{d \phi mr^2}{L} \\ \frac{d \phi mr^2}{L} = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E_c +G\frac{Mm}{R}) - \frac{L^2}{m^2r^2}}} \\ d \phi = \frac{\frac{L}{mr^2} dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{GMm}{r}\right)-\frac{L^2}{m^2r^2}}} \\ \phi = arccos\left(\frac{\frac{L}{r} - G \frac{m^2 M}{L} }{\sqrt{2mE + G^2 \frac{m^4 M^2}{L^2}}}\right) + C \\ cos \phi = \frac{\frac{L}{r} - G \frac{m^2 M}{L} }{\sqrt{2mE + G^2 \frac{m^4 M^2}{L^2}}} \\ cos \phi = \frac{\frac{L^2}{G m^2 M } - 1}{\sqrt{\frac{2EL^2}{G^2 m^3 M^2} + 1}} \\ ok~niech~cos \phi = \frac{\frac{p}{r}-1}{\epsilon} \\ cos \phi = r = \frac{p}{1+\epsilon cos \phi} \\ E=\frac{G^2 M^2 m^3}{2L^2} (\epsilon^2 -1) \\ \end{split}\]

Informacja

• dla energii najmniejszej ruch po okręgu

• dla ujemnej po elipsie

• dla równej 0 po paraboli

• dla większej od 0 po hiperboli

Wskazówka

\[\begin{split} b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}} \\ \end{split}\]

Oddziaływanie grawitacyjne mas kulistych

Przykłady wstępne

rozważmy pole grawitacyjne pręta.

z zasady wuperpozycji

rozważmy punkt na osi pręta

\[\begin{split} d \gamma = - \frac{G dM}{x^2} \\ \gamma = \int - \frac{G dM}{x^2}dx \\ \\ dM = \frac{M}{L} \\ \gamma =-G \frac{M}{L} \int x^{-2} dx \\ \\ \gamma = G M * \frac{1}{(a)(a+L)} \end{split}\]

Z tego wynika ze w przypadku pręta nie można założyć że cała masa jest skupiona w środku pręta

Pole powierzchni sfery

podzielmy sferę na małe paski o kształcie pierścienia o powierzchni ds.

\[\begin{split} ds = 2\pi R d \phi * R sin d\phi = R^2 d\phi sin d \phi \\ P = \int_0^{\pi} 2 \pi R d \phi * R sin d\phi = R^2 d\phi sin d \phi d \phi \\ P = R^2 2 \pi (1+1) = 4 pi R^2 \end{split}\]

Objętość kuli

dzielimy kulę na warstwy sferyczne.

\[\begin{split} dV = 4 \pi r^2 * dr \\ V = \int_0^R 4 \pi r^2 * dr \\ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \end{split}\]

Pole grawitacyjne wytworzone przez sferę

\[ \frac{dE_P}{dr} = -F \frac{d\Phi}{dr} = \gamma \]

kula o masie M i promieniu R

\[\begin{split} d \Phi = -G \frac{dm}{a} \\ \Phi = -G \frac{m}{a}\\ \end{split}\]

a to odległość od punktów na pierścieniu

• Wzór na potencjał od całęj sfery: \(\Phi = -G * \frac{M}{r}\)

• Potencjał pola wewnątrz sfery wynosi \(\Phi = -G \frac{M}{R} = const\)

• potencjał od kuli \(\Phi = -G \frac{M}{r}\)

_R - promień sfery, r - odległość od środka sfery$

Podstawy eksploracji przestrzeni kosmicznej

\[\begin{split} v = \sqrt{\frac{GM}{R_z+h}} \\ T = \frac{2 \pi R_z}{v_I} \\ T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 R_z}{G M_z}} \end{split}\]

Informacja

Okres przelotu z I Prędkością kosmiczną wokół ziemii jest równy okresowi przelotu przez tunel wywiercony przez środek ziemi.

Eksploracja układu słonecznego

\[\begin{split} \frac{mv_{II}^2}{2} - \frac{GM_z}{R_z} \\ v_{II} = \sqrt{\frac{2GM_z}{R_z}} = v_I \sqrt{2} \end{split}\]

Dynamika Układu Punktów

Środek masy

W układzie punktów znajduje się punkt reprezentujący układ mas okreśłony wektorem $\vec{r_{Cm}}

\[ r_{Cm} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2} + ... + m_n \vec{r_n}}{m_1 + m_2 + ... + m_n} = \frac{1}{M} * \Sigma_{i = 0}^n m_i \vec{r_i} \]

\[ v_{Cm} = \frac{1}{M} * \Sigma_{i=0}^n p_i \]

\[ a_{Cm} = \frac{1}{M} \Sigma_{i=0}^n F_i \]

Wskazówka

Środek masy ukłądu cząstek porusza się w taki sposób, jakby cała masa była skupiona w środku masy i jakby na niego działały wszystkie siły zewnętrzne.

Wskazówka

Względny ruch cząstek poddany działaniu tylko sił wewnętrznych jest równoważny ruchowi cząstki o masie zredukowanej poddanej działaniu siły równej wzajemnemu oddziaływaniu.

Moment Pędu układu cząstek

Informacja

\(L = m * \vec{r} \times \vec{v}\)

\[ L = \Sigma_{i=0}^n L_i \]

Informacja

szybkość zmian momentu siły dowolnego ukłądu cząsteg Jest róna sumie momentów sił zewnętrznych (względem tego samego punktu działających na ten układ.)

Gdy nie ma sił zewnętrznych lub ukłądu z zerowym zewnętrznymmomentem sił moment układu jest stały co do kierunku i wartości.

\[ \frac{dL}{dt} = 0 \]

Wewnętrzny i orbitalny moment pędu

\(L_w\) to wewnętrzny moment pędu - suma całkowitego momentu pędu względem środka masy.
Orbitalny moment pędu to pęd względem ukłądu laboratoryjnego

\(L = L_w + L_o\)

Moment Pędu Bryły Sztywnej

bryła sztywna

ukłąd punktóœ gdzie \(\vec{r} = const\)

Informacja

Typy ruchu:

• postępowy = translacyjny = posuwisty \(v = v_1 = v_2 = ... = v_n\)

• obrotowy = wirowy = rotacyjny \(v_{cm} = 0 ~ \omega = const\)

Moment bezwładności

Moment Bezwładności

• jest to wielkość tensorowa

• istnieją co najmniej 3 prostopadłe do siebie kierunki (osie główne), gdzie \(\vec{L} \parallel \vec{\omega}\). Wtedy \(I\) jest skalarem

Ruch obrotowy poszczególnych brył:

• płaska płyta obraca się wokół osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do płyty.

\[\begin{split} \vec{L} = ? \\ \vec{L_i} = r_i \times p_i \\ \vec{L_i} = r_i \times m_i v_i \\ \vec{L_i} = r_i \times m_i r_i \times \omega \\ \vec{L} = \vec{r} \times m \times \vec{r} \times \vec{\omega} \\ \vec{L} = \omega \Sigma m \vec{r^2} \\ \vec{L} = I \omega \end{split}\]

• Hantle obracająće się w stosunku do osi przechodzącej przez środek pręta gdy oś nie jest prostpoadła

\[\begin{split} \vec{L_1} = r_1 \times m_1 \vec{v_1} \\ \vec{L_2} = r_2 \times m_2 \vec{v_2} \\ \vec{L} \nparallel \vec{\omega} \Rightarrow \vec{L} \neq I \omega \end{split}\]

Tensor

Moment bezwłądności \(i\) nazywamy tensorem.

\(\hat{I} \lor \mathbb{I}\) można zapisać w postaci macierzy \(\begin{Bmatrix} I_{xx} && I_{xy} && I_{xz} \\ I_{yx} && I_{yy} && I_{yz} \\ I_{zx} && I_{zy} && I_{zz} \\ \end{Bmatrix}\)

Ogólny wzór na moment pędu bryły sztywnej to \(\vec{L} = \hat{I} \omega\)

• dla bryły 3-wymiarowej r to odległość od osi obrotu

\[ I = \int dI = \int r^2 dm \]

• dla pręta

\[\begin{split} \frac{dr}{dm} = \frac{M}{L} \\ I = \int r^2 \frac{M}{L} dr \\ I = \frac{M}{L} \int_{\frac{-R}{2}}^{\frac{R}{2}} r^2 dr \\ I = \frac{M}{L} \left[ \frac{1}{3} r^3 \right ]_{\frac{-R}{2}}^{\frac{R}{2}}\\ I = \frac{1}{12} mR^2 \\ \end{split}\]

• walec

\[\begin{split} I = \int dm x^2 \\ dm = \frac{M}{\pi R^2 L} 2 \pi x L dx \\ I = \int 2 \frac{M}{R} x^3 dx \\ I = 2 \frac{M}{R} \int x^3 dx \\ I = 2 \frac{M}{R} \left[ x^3 \right]_0^{R} \\ I = \frac{1}{2} MR^2 \\\end{split}\]

Informacja

Każda bryła niezależnie od rozkłądu masy posiada 3 osie główne przecinająće się w środku masy. Osie główne zawsze są wobec siebie prostopadłe. Dla brył o symetrycznym rozkładzie masy osie główne powiązane są ze środkiem symetrii.

Jeżeli bryła obraca się wzdłuż osi symetrii możemy traktować moment bezwłądności jako skalar.

Dynamika ruchu obrotowego bryły względem osi głównej

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

\[\begin{split} \frac{dL}{dt} = I \frac{\omega}{dt} \\ M = I \epsilon \end{split}\]

Staczanie walca z róœni pochyłej

Gdy nie ma poślizgu:

\[\begin{split} Ma = M g sin \alpha - T_s I* \epsilon = \tau = T_s * R \\ a = \epsilon R \\ \end{split}\]

Informacja

założywszy dwa dowolne ruchy obrotowy i postępowy \(v_w = v + \omega r\)

dla warunku braku poślizgu punkt styczności musi mieć v = 0

Rozważmy przypadek, w którym występuje poślizg:

\[\begin{split} Ma = M g sin \alpha - T_k I* \epsilon = \tau = T_k * R \\ T_k = k * mg cos \alpha \end{split}\]

Twierdzenie Steinera

Niech bryła obraca się względem osi, która nie przechodzi przez środek masy.

Wskazówka

przykłądowo pręt obracająćy się względem swojego końca

\[ I_d = I_0 + m d^2 \]

Wachadło Fizyczne

\[\begin{split} I \frac{d^2 \phi}{dt^2} + M g d sin \phi = 0 \\ niech~sin\phi \approx \phi \\ T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}} \end{split}\]

Wachadło Torsyjne

Zobacz także

Oscylator torsyjny

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{k}} \]

Energia kinetyczna bryły sztywnej

Wokół osi w układzie inercjalnym. Każda cząstka bryły ma energię kinetyczną \(\Rightarrow\) \(E_k = \Sigma E_{K_i}\)

\[\begin{split} E_k = \frac{1}{2} \Sigma m_i \omega^2 r_i^2 \\ E_k = \frac{1}{2} \omega^2 \Sigma m_i r_i^2 \\ E_k = \frac{1}{2} \omega^2 I = \frac{I \omega^2}{2} \\ \end{split}\]

Tarcie toczne

tarcie toczne wynika z faktu, że siła reakcji na toczące się ciało pochodzi od odkształcenia podłoża. Gdy bryła się toczy, musi ona cały czas wtaczać się na “pochyłość wgniecenia”.

Moment siły tarcia oznaczamy jako \(\tau\)

\[\begin{split} \tau = k * N \\ \end{split}\]

Elipsoida bezwładności

Rozważmy ruch prostopadłościanu o wyraźnie różnych wymiarach.

Wyróżnijmy 3 główne momenty bezwładności względem osi głównych.

Twierdzenie o elipsoidzie bezwładności

Spośród 3 momentów głównych, jedenz nich jest największy spośród wszystkich momentów bezwładności w środku masy danej bryły

Elipsoidę bezwładności otrzymujemy zaznaczając na osiach związanych ze środkiem masy i osiami głóœnymi odległość \(r_i = \frac{1}{I_i}\)

otrzymujemy \(\frac{x^2}{R_x^2} + \frac{y^2}{R_Y^2} + \frac{z^2}{R_z^2} = 1 = x^2 I_x + y^2 I_y + z^2 I_z\)

Konsekwencje zasady zachowania momentu pędu

rozważmy ruch bąka.

Moment pędu leży na pionowej osi głównej.

\[\begin{split} \vec{L} = \frac{d\tau}{dt} \\ \vec{\tau} = M~g~b~sin~\phi \\ \vec{L} \perp \vec{\tau} \end{split}\]

Moment siły \(\tau\) wymusza zmainę momentu pędu (nie zmieniając prędkości kołowej).

Informacja

Częstość precesji

\[\begin{split} \omega = \frac{d \theta}{dt} \\ \frac{dL}{L sin \phi} * \frac{1}{dt} =\\ = \frac{M~g~b sin\phi}{I \omega sin \phi} = \frac{M~g~b}{I~]\omega} \end{split}\]

Statyka Bryły Sztywnej

Rozważmy sytuację drabiny opartej o ścianę. Tarcie drabiny o ścianę pomijamy.

\[\begin{split} T=R_x\\ Mg = R_y \\ Mg \frac{L}{2} sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = R_y L sin\alpha \\ \alpha_gr < ctg 2k \end{split}\]

Ostrzeżenie

Egzamin z mechaniki

• egzamin jest ustny

• egzamin z “teorii”

• 4 pytania

• na stronie profesora są materiały z numerami działów

• dla każdej grupy jeden dzień, 30 minut na osobę

• 0 termin - 26.01

• pokój 308 (główny budynek 3 piętro)

Elementy Mechaniki Płynów

Informacja

w fizyce za płyn uznaje się zarówno ciecze jak i gazy

• ciecz przyjmuje kształt naczynia

• gaz róœnież, ale dodatkowo zajmuje całą dostępną przestrzeń

Gęstość

oznaczana jako \(\rho\) lub \(d\)

\(\rho = \frac{d}{V} = \left[\frac{kg}{m^3}\right]\)

Ciśnienie

• jest wartością skalarną

• oznacza się jako \(p\)

• \(p = \frac{|\vec{F}|}{s}\)

• jeżeli przyjmiemy element skierowany powierzchni \(\vec{dS}\) (normalny do fragmentu powierzchni) wtedy \(\vec{dF} = p * \vec{dS}\)

• jednostką ciśnienia w układzie SI jest \(p = \left[\frac{N}{m^2}\right] = \left[Pa\right]\)

Ciśnienie hydrostatyczne

Niech:

• wysokość słupa h

• pole podstawy S

• ciężar = \(F = mg\)

• masa = \(m = \rho * V = \rho S h\)

• ciśnienie \(p = \rho * s * h * g\)

Ważne

w powyższym doświadczeniu również atmosfera wywiera ciśnienie na ciecz o wartości \(p_0\)

p = p_0 + \rho * g * h$

Hydrostatyka

Prawo Pascala

Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekezywane niezmienione na każdą część płynu i na ścianki naczynia.

\[\begin{split} \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \\ F_1 = F_2 \frac{S_1}{S_2} \end{split}\]

Paradoks hydrostatyczny

2 naczynia o identycznych kształtach zawierające identyczne płyny jedno w kształćie stożka, a drugie w kształcie odwróconego stożka.

Na dno obu naczyń działa takie samo ciśnienie

Prawo archimedesa

Na ciało zanużone w naczyniu działa siła wyporu.

Niech:

• \(\rho_0\) to gęstość cieczy

• \(\rho_1\) to gęstość ciała

• na górną powierzchnię działą siła \(F_1\) a na dolną \(F_2\)

• h to odległość od górnej powierzchni ciała do powierzchni cieczy

\[ F_w = F_2 - F_1 F_w = S(P_2 - P_1) F_w = \rho * g * V \]

Na każde ciało zanużone w płynie działą sila wyporu skierowana do góry i równa ciężarowi wypartej cieczy

Barometr Torrichellego

\[ \rho * g * h = p_0 \]

Informacja

normalne ciśnienie wynosi około 760 mmHg

Ogólny opis przepływu płynów

Zobacz także

równania Naviera-Stoksa

Podział przepływów:

• laminarny (ustalony / stacjonarny). Jego charakterystyki nie zależą od czasu. lub turbulentny (nieustalony) - zmienia się w czasie

• wirowe i bezwirowe

• płynów ściśliwych i nieściśliwych

• lepki lub nielepki

Pojęcie strugi

załużmy przepływ laminarny. Struga to pęk linii przepływu cząstek.

Prawo ciągłości strugi

\(S * v = const\) gdzie \(S\) jest polem przekroju przepływu.

Prawo Bernoilli’ego

rozpatrujemy strugę z \(S_1\) i \(S_2\) Przepływ nielepki,

\[\begin{split} W = F_1 * v_1 \Delta t - F_2 v_2 \Delta t \\ W = \Delta v (p_1 - p_2) \\ \\ \\ P + \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} = const \\ \it{p * V + m * g * h + \frac{m v^2}{2} = const} \end{split}\]

Z tego wynika, że im większa prędkość tym mniejsze ciśnienie.

Siła nośna działająca na skrzydło

skrzydło jest płąskie od spodu i wybrzuszone od góry. Powietrze kumuluje się nad skrzydłem tworząc siłę nośną.

Opis przepływu laminarnego cieczy przez rurę

cząstecznki na samym środku rury płyną najszybciej, natomiast przy ściankach w praktyce się nie poruszają.

\(v(r) = ?\)

\[\begin{split} \Delta p \pi r^2 = \eta 2 \pi r l \frac{dv}{dr} \\\end{split}\]

Prawo Hagena Poisseli

Objętość cieczy jaka przepłynie przez rurę o promieniu R przy danej różnicy ciśnień i długośći.

\[\begin{split} V = \frac{\pi * \Delta p * t}{8 \eta L} * R^4 \\ \end{split}\]

Siła oporu:

\[ K = C * S * \frac{\rho v^2}{2} \]

Podobieńśtwo hydrodynamiczne i liczba Raynoldsa

Wokół ciał geometrycznie podobnych uzyskuje się podobny przepływ cieczy (linie prąðu są podobne) jeżeli stosunek oporu ciśnienia do oporu tarcia jest stały

\[\begin{split} Re = \frac{K}{F} = C * \frac{d^2 \rho v^2}{\eta v d} = C \frac{d \rho v}{\eta} = const \\ \left[Re\right] = 1 \end{split}\]

Wskazówka

jeżeli dla przepływu cylindrycznego \(Re < 2000\) przepływ jest laminarny, dla \(Re>4000\) przepływ turbulentny

Własności sprężyste ciał

Prawo Hooke’a dla 1-wymiarowego rozciągania

\[ \Delta L = k * \frac{F * l}{S} \Delta l ~ F \]

po pozbyciu się F, ciało wraca do pierwotnego kształtu (pamięć kształtu).

Niech \(p\) - naprężenie (wewnętrzne) (\(\frac{F}{S} = P\))

\(\frac{\Delta l}{l} = k * p\) To tak zwane odkształcenie (wzglęðne). Oznaczane \(\alpha \quad \left[\alpha\right] = 1\)

\[ \alpha = k * p p = \frac{1}{k} * \alpha \]

\(\frac{1}{k} = E\) to moduł Yanga.

Odkształcenia sprężyste

• zcinanie: do przymocowanego do podłoża ciała przykładamy stycznie poziomo siłę F. \(p = G * \alpha\), gdzie \(G\) to kąt przechylenia się ciałą.

• skręcanie: $\phi = \frac{2l}{\pi r^4} * \frac{\tau}{G}

• Ściskanie hydrostatyczne Ciało jest równomiernie ściskanie ze wszystkich stron. \(p=-K \alpha\), \(\alpha = \frac{\Delta V}{V}\)

• Ściskanie i rozciąganie $\frac{\Delta b}{b} = M \frac{\Delta l}{l}. M to współczynnik Puasona.

Wszystkie te współczynniki są specyficzne dla każdego materiału.

Odkształcanie belek

• ugięcie belki. (Moduł Yanga). \(z(l) = \frac{F l^3}{SEI}\) dla leżącej prostokąßnej belkii \(I = \int_S y^2 dS = \frac{bd^3}{12}\)

• wyboczenie belki - Belka zastosowan ajako filar. Kształt wyboczonej belki to \(y = k * sin( \frac{\pi x}{l})\). \(F = \frac{\pi^2 E I }{L^2}\)

Odkształcenie plastyczne i granica wytrzymałości (wytrzymałość na zerwanie)

W pewnym momencie odkształćania sprężystego przechodzimy do fazy odkształceń plastycznych. Łączą się one z trwałym zmianem kształtu ciała po usunięciu naprężeń.

Po jeszcze większym zwiększeniu siły nastąpi zerwanie.

Odniesienia

• Przedmiot prowadzony przez profesora dr. hab. inż. Wojciecha Łużny

• Sylabus Przedmiotu

• Program wykładów