Grawitacja i elementy astronomii

III prawo Kepplera

Jeśli planeta porusza się w polu grawitacyjnym gwiazdy, ale jej masa jest na tyle duża, że nie można jej pominąć przy porównaniu z masą gwiazdy, natomiast pominie się oddziaływania z innymi ciałami, obowiązuje zależność zwana uogólnionym III prawem Keplera:

\[r^3 = \frac {G * \left( M_s + m \right)} {4 \pi ^2} * T^2\]

gdzie:

• G - Stała grawitacji

\[G = 6.67 * 10^{-11} \frac{m^3}{kg * s^2}\]

• m - masa danej planety

• M _s - masa gwiazdy

• T - okres obrotu planety wokół gwiazdy

Z uogólnionego trzeciego prawa Keplera, pomijając masę planety, można wyprowadzić sformułowane przez Keplera prawo, gdy: M _s + m → M _s, więc:

\[\frac {r^3} {T^2} = \frac {G * M} {4 * \pi^2}\]

Należy również wspomnieć, że dla obiektów krążących wokół jednego ciała, prawa strona powyższego równania jest stałą, więc można zapisać następujący wzór:

\[\frac {r_1^3} {T_1^2} = \frac {r_2^3} {T_2^2}\]

wzór ten można łatwo wyprowadzić ze wzoru na siłę grawitacji:

\[ \begin{align}\begin{aligned}F_g = F_b\\G * \frac {M * \cancel{m}} {R^{\cancel{2}}} = \frac {\cancel{m} * v^2} {\cancel{R}}\\v^2 = G * \frac{M}{R}\\\left( \frac{2 * \pi * R}{T} \right)^2 = G * \frac{M}{R}\\\frac {4 * \pi^2 * R^2} {T^2} = G * \frac{M}{R}\\M * T^2 = 4 * \pi^2 * R^3\\\frac{R^3}{T^2} = \frac{G * M}{4 \pi^2}\end{aligned}\end{align} \]

zadanie 1

zadanie

Pluton obiega Słońce z apohelium r _a = 48.8 au i apohelium r _p = 29.6 au. Oblicz okres obrotu Plutona wokół Słońca.

rozwiązanie

Dane:

Te wartości mamy podane w treści zadania

r _p = 29.6 au

r _a = 48.8 au

parametry dla Ziemi

a _z = 1 au (średnia odległość Ziemi od słońca)

T _z = 1 rok (okres obrotu Ziemi wokół słońca)

Szukane:

T _p = ?

Wzory:

Wzór na III Zasadę Kepplera

\[\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} = \frac{G * M}{4 \pi^2}\]

Obliczenia:

zauważ, że nie znamy średniej odległości Plutona od Słońca (a _p). Długość ta jest właściwie długością wielkiej półosi jego orbity. Długość wielkiej osi tej elipsy możemy łatwo wyliczyć dodając do siebie wartości peryhelium i apohelium (r _p + r _a). Teraz, aby otrzymać długość wielkiej półosi dzielimy otrzymany wynik na dwa.

\[a_p = \frac{r_p+r_a}{2}\]

kiedy mamy już wszystkie potrzebne wielkości, możemy zająć się obliczeniami:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}\frac{a_z^3}{T_z^2} = \frac{a_p^3}{T_p^2} \\ \frac{a_z^3}{T_z^2} = \frac{\left(\frac{r_p+r_a}{2}\right)^3}{T_p^2} \\ T_p^2 * a_z^3 = T_z^2 * \left(\frac{r_p+r_a}{2}\right)^3 \\ T_p^2 = \frac{T_z^2 * \left(\frac{r_p+r_a}{2}\right)^3}{a_z^3} \\\end{split}\\\begin{split}T_p = \sqrt{ T_z^2 * \frac {\left( \frac{r_p+r_a}{2} \right)^3} {a_z^3} } \\\end{split}\\\begin{split}T_p = T_z * \sqrt{\frac{\left(\frac{r_p+r_a}{2}\right)^3}{a_z^3}} \\\end{split}\\\begin{split}T_p = T_z * \sqrt{ \left( \frac {\frac{r_p+r_a}{2}} {a_z} \right)^3 } \\\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Teraz możemy zabrać się do podstawiania konkretnych wartości

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}T_p = 1 rok * \sqrt{ \left( \frac {\frac{29.6 \cancel{au} + 48.8 \cancel{au}}{2}} {1 \cancel{au}} \right)^3 } \approx \\\end{split}\\\approx 1 rok * \sqrt{ \left( \frac{80}{2} \right)^3 } =\\\begin{split}= 1 rok * \sqrt{ 6.4 * 10^4 } = \\\end{split}\\10^2 lat * \sqrt{ 6.4 } \approx \color{red}{\underline{\underline{250 lat}}}\end{aligned}\end{align} \]

Po wyliczeniu wyniku za pomocą kalkulatora otrzymamy mniej więcej 245.381 lat, więc otrzymane przybliżenie nie jest najgorsze.

Odpowiedź:

Czas z jakim Pluton obiega Słońce wynosi 250 lat.

zadanie 2

zadanie

Dejmos - jeden z naturalnych satelitów Marsa krąży w średniej odległości 23485 km od planety, a obiega ją w ciągu 1.26 dnia. Oblicz masę Marsa.

rozwiązanie

Dane:

r _d = 23485 km = 23485 * 10 ³ m

T _d = 1.26 dnia = 1.26 * 24 * 3600 s = 1.08864 * 10 ⁵ s

Szukane:

M = ?

Wzory:

\[\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} = \frac{G * M}{4 \pi^2}\]

Obliczenia:

w tym zadaniu nie ma żadnej wyższej filozofii. Po prostu musimy przekształcić i podstawić do wzoru:

\[M = \frac {R_d^3 * 4 * \pi^2} {T_d^2 * G}\]

\[ \begin{align}\begin{aligned}M = \frac {\left( 23485 * 10^3 m \right)^3 * 4 * 3.14^2} {\left( 1.08864 * 10^5 s \right)^2 * 6.67 * 10^{-11} \frac{m^3}{kg * s^2}}\\M = \frac {23485^3 * 10^9 * 4 * 3.14^2 m^3} {1.08864^2 * 10^{10} * 6.67 * 10^{-11} \frac{m^3}{kg}}\\M = \frac {23485^3 * 4 * 3.14^2} {1.08864^2 * 6.67} * 10^{10} kg\\M \approx \color{red}{6.5 * 10^{23} kg}\end{aligned}\end{align} \]

Praca w polu grawitacyjnym

Jak wiemy, pracę najłatwiej jest obliczyć ze wzoru

\[W = F * s * cos(\alpha)\]

jednak w kwestii pola grawitacyjnego jest to nieco bardziej skomplikowane, ponieważ, jeżeli chcielibyśmy z siłę podstawić siłę grawitacji

\[F_g = \frac{M * m}{R^2}\]

napotkalibyśmy następujący problem: jaką wartość podstawić w miejsce R? Odległość od masy? Ale przecież, skoro wykonujemy pracę - pokonujemy drogę - ta odległość ciągle się zmienia… Dlatego wyprowadza się następujący wzór:

\[W_{z ~~ a \rightarrow b} = - G * m * M * \left( \frac{1}{r_b} - \frac{1}{r_a} \right)\]

gdzie:

• m:sup:a - początkowa odległość od masy M

• m:sup:b - końcowa odległość od masy M

Informacja

Warto zauważyć, że w powyższym wzorze przebyta droga nie jest istotna. Liczą się tylko odległości od masy M (źródła pola grawitacyjnego).

zadanie 1

zadanie

Jaką pracę należy wykonać aby przenieść z nieskończoności 4 jednakowe masy m do wierzchołków kwadratu o boku a? Jaką pracę wykonamy przesuwając następnie jedną z nich do środka tego kwadratu?

Dane

m - masa

a - bok kwadratu

Szukane

W _c = ? (praca wymagana do przeniesienia mas)

W _s = ? (praca wymagana do przeniesienia jednej z mas do środka kwadratu)

Rozwiązanie

Wyobraźmy sobie kwadrat (A, B, C, D) o boku a, do którego wierzchołków będziemy kolejno przenosić masy. Środek kwadratu oznaczmy literą S.

Rozpatrzmy teraz przypadek, w którym masę przenosimy do narożnika A:

Najpierw jednak przypomnijmy wzór na pracę:

\[W = - G * m * M * \left( \frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a} \right)\]

za m podstawimy masę z zadania, ale M - masa tworząca pole grawitacyjne wynosi na razie 0, ponieważ w naszym kwadracie nie mamy na razie żadnej masy. Więc:

\[W_A = 0\]

rozpatrzmy przypadek masy, którą przyniesiemy do punktu B:

Warto zaznaczyć, że wyrażenie przynosimy z nieskończoności oznacza, że za początkowa odległość musimy przyjąć nieskończoność. w tym przypadku za masę tworzącą pole grawitacyjne podstawimy masę znajdującą się w wierzchołku A:

\[W_B = - G * m * m * \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{\infty} \right)\]

ułamek 1/nieskończoność jest jednak tak mały, że możemy przybliżyć go do 0.

\[W_B = -G * m^2 * \frac{1}{a}\]

rozpatrzmy teraz przypadek narożnika C. Tutaj znajdują się już dwie masy tworzące różne pola grawitacyjne. Dlatego musimy obliczyć pracę dla każdego z nich:

\[\begin{split}W_{C_B} = -G * m^2 * \frac{1}{a} \\ W_{C_A} = -G * m^2 * \frac{1}{a * \sqrt{2}} \\ W_C = W_{C_B}+W_{C_A} \\ W_C = - G * m^2 * \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a * \sqrt{2}} \right) \\ W_C = - G * m^2 * \frac{2 + \sqrt{2}}{2a}\end{split}\]

Energia w polu grawitacyjnym

Energia Potencjalna

Dla każdego ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym możemy wyznaczyć energię potencjalną. Liczbowo, można ją obliczyć z następującego wzoru:

\[E_p = \frac{-G * M * m}{r}\]

gdzie m to masa próbna, M to masa wytwarzająca pole grawitacyjne (masa ciała centralnego) a r - odległość od środka masy M.

Informacja

w zadaniach z tego tematu przydatna może się okazać tzw. Zasada Zachowania Energii.

Praca a energia

Dla pracy w polu grawitacyjnym (jak i dla pracy w ogóle) prawdziwy jest następujący wzór:

\[W = \Delta E\]

Potencjał grawitacyjny

W danym punkcie pola Potencjał Grawitacyjny równy jest liczbowo stosunkowi energii potencjalnej masy próbnej w tym punkcie do jej wartości. Niniejszą definicję wizualizuje wzór:

(1)\[\begin{split}V = \frac{E_p}{m}\\ V = \frac{\frac{-G * M * m}{r}}{m}\\ V = \frac{-G * M}{r}\\\end{split}\]

zadanie 1

zadanie potencjał grawitacyjny

średnia odległość pomiędzy dwiema planetami wynosi d = 5 * 10 ⁷ km ich masy są odpowiednio równe m ₁ = 4 * 10 ²¹ kg i m ₂ = 6 * 10 ²¹ kg. W jakiej odległości od planety o mniejszej masie (na odcinku łączącym środki tych mas) znajduje się punkt w którym potencjały grawitacyjne obu tych mas są równe?

dane

d = 5 * 10 ¹⁰ m

m ₁ = 4 * 10 ²¹ kg

m ₂ = 6 * 10 ²¹ kg

szukane

r - poszukiwana odległość

\(d-r\) - odległość od drugiej planety

wzory

jest to klasyczne zadanie „na potencjał grawitacyjny”, czyli potrzebujemy jedynie tego wzoru (1)

rozwiązanie

\[\begin{split}V_1 = V_2 \\ \frac{\cancel{-G} * m_1}{r} = \frac{\cancel{-G}*m_2}{d-r}\\ m_1 * \left( d-r \right) = m_2 * r \\ m_1 * d - m_1 * r = m_2 * r \\ m_2 * r + m_1 * r = m_1 * d \\ r * (m_1 + m_2) = m_1 * d \\ r = \frac{m_1 * d}{m_1 + m_2} \\ \\ r = \frac{4 * \cancel{10^{21}} * 5 * 10^{10}} {4 * \cancel{10^{21}} + 6 * \cancel{10^{21}}} km \\ r = \frac{20*10^{10}}{24} km \\ r = \frac{2 * 10^{11}}{24} km \\ r = \color{red}{\frac{1}{12} * 10^{11} km}\end{split}\]

Prędkości kosmiczne

I Prędkość Kosmiczna

Pierwsza prędkość kosmiczna (tzw. prędkość kołowa) jest najmniejszą prędkością, jaką należy nadać ciału względem środka masy przyciągającego je ciała niebieskiego w kierunku równoległym do jego powierzchni, aby dane ciało stało się sztucznym satelitą tego ciała niebieskiego.

Prędkość tą ilustrujemy wzorem \(v = \sqrt{\frac{G * M}{r}}\).

II Prędkość Kosmiczna

Znalezione obrazy dla zapytania druga prędkość kosmiczna Druga prędkość kosmiczna jest to najmniejsza z możliwych prędkości, jaką należy nadać ciału przy powierzchni Ziemi, aby mogło oddalić się do nieskończoności. Jest to tak zwana prędkość ucieczki.

Prędkość Ucieczki możemy obliczyć, korzystając ze wzoru \(v = \sqrt{2 * \frac{G * M}{r}}\).

Informacja

istnieją także kolejne prędkości kosmiczne. Na przykład III prędkością kosmiczną nazywamy prędkość konieczną do opuszczenia pola grawitacyjnego słońca.

IV Prędkość kosmiczna to prędkość z jaką ciało może opuścić naszą galaktykę i.t.d…

zadanie 1

zadanie

Oblicz prędkość liniową Księżyca. Średnia odległość księżyca od Ziemi wynosi \(d = 3.84 * 10^8 m\). Przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni Ziemi przyjmij za \(g = 9.8 \frac{m}{s^2}\). Promień Ziemi wynosi \(R = 6.37 * 10^6 m\).

dane

\(d = 3.84 * 10^8 m\)

\(g = 9.8 \frac{m}{s^2}\)

\(R = 6.37 * 10^6 m\)

rozwiązanie

Ogólnie zadanie polega na podstawieniu danych do wzoru na I Prędkość Kosmiczną (zobacz: I Prędkość Kosmiczna).

\[v_k = \sqrt{\frac{G * M}{d}}\]

jedyną trudnością jest, że w danych nie ma masy Ziemi. Jest za to jej promień (R) i wartość przyspieszenia grawitacyjnego przy jej powierzchni, co pozwala przypuścić, że należy zastąpić iloczyn \(G * M\) wartością \(g * R^2\)

\[v_k = \sqrt{\frac{g * R^2}{d}}\]

\[\begin{split}v_k = \sqrt{\frac{9.8 \frac{m}{s^2} * \left(6.37 * 10^6 m \right)^2}{2.84 * 10^8 m}} \\ v_k = \sqrt{\frac{9.8 * 6.37^2}{2.84} * \frac{10^{12}}{10^8}} \frac{m}{s} \\ v_k = \sqrt{\frac{9.8 * 6.37^2}{2.84}} * 10^2 \frac{m}{s} \\ v_k \approx 10 * 10^2 \frac{m}{s} \\ \color{red}{v_k \approx 10^3 \frac{m}{s}}\end{split}\]

Ruch ciał w polu grawitacyjnym

Dotychczas rozpatrywaliśmy przypadki, w których masa ciał była masą punktową (lub miała kształt sferyczny) lub masę mniejszego ciała mogliśmy zaniedbać (np. Ziemia & Słońce). Jeżeli jednak masy dwóch ciał są porównywalne, mniejsze ciało nie porusza się wokół większego, lecz względem Środka Masy. Dla szczegółowej definicji i opisu, zobacz tutaj. W zadaniach z tego działu nie będziemy jednak korzystać z tak zaawansowanej definicji. W większości przypadków, musimy wiedzieć jedynie, że \(r_{śr m} = \frac{r_1 * m_1 + r_2 * m_2}{m_1 + m_2}\) co, gdy założymy, że pierwsza nasza masa znajduje się w punkcie (0, 0) da nam następujący wzór:

(2)\[r_{śr m} = \frac{m_2 * d}{m_1 + m_2}\]

gdzie d to odległość pomiędzy dwoma ciałami.

\(r_{śr m}\) to odległość od masy \(m_1\) do środka masy

zadanie 1

szablon rozwiązania

zadanie

przy obserwacji pewnej gwiazdy podwójnej zaćmieniowej okres zmian jasności wynosił \(T=10^5 s\) średnia odległość pomiędzy składnikami gwiazdy wynosi \(d=10^6 km\). Stała grawitacji to \(G=6.67 * 10^{-11} \frac{km^3}{kg * s^2}\). Oblicz masę tej gwiazdy.

dane

\(T = 10^5 s\)

\(d = 10^6 km = 10^9 m\)

\(G=6.67 * 10^{-11} \frac{km^3}{kg * s^2}\)

szukane

\(M = m_1 + m_2 = ?\)

rozwiązanie

Patrząc na dane, musimy dojść do sytuacji, w której nasz wzór (nie licząc liczby pi i stałych - liczb) będzie zawierać tylko okres, odległość dwóch ciał i stałą grawitacji.

najpierw wyznaczmy odległości od środka masy poszczególnych ciał:

\[r_1 = \frac{d * m_2}{M} r_2 = \frac{d * m_1}{M}\]

Wskazówka

\(r_1 + r_2 = d\)

skoro obserwujemy zaćmienia, oznacza to, że oba składniki gwiazdy poruszają się. możemy więc zapisać następujące równanie

\[v_1 = \frac{2 * \pi * r_1}{T} v_2 = \frac{2 * \pi * r_2}{T}\]

Ważne

częstotliwości obrotu obu tych składników są równe, ale prędkości nie!!

przyda nam się to później. Przypomnijmy teraz sobie o siłach, które muszą działać na te obiekty. Pierwszą z nich jest Siła Grawitacji wyrażona wzorem \(F=G*\frac{M * m}{R^2}\). Ta siła określa oddziaływania obu składników gwiazdy i jest dla obu identyczna.

Informacja

za R możemy tu podstawić nasze d

Jednak jest jeszcze jedna siła - Siła Odśrodkowa działająca względem środka masy tego układu.

Informacja

w ruchu po okręgu siłę odśrodkową wyrażamy wzorem \(F=\frac{2 * \pi * r}{T}\)

\[\begin{split}G * \frac{\cancel{m_1} * m_2}{d^2} = \frac{\cancel{m_1} * v^2}{r_1} \\ G * \frac{m_2}{d^2} = \frac{v^2}{r_1} \\ G * \frac{m_2}{d^2} = \frac {\left(\frac{ 2 * \pi * r_1 }{T}\right)^2} {r_1} \\ G * \frac{m_2}{d^2} = \frac{4 * \pi^2 * r_1^{\cancel{2}}}{T^2 * \cancel{r_1}} \\ r_1 = G * \frac{m_2 * T^2}{d^2 * 4 * \pi^2} \\ \frac{\cancel{m_2} * d}{M} = G * \frac{\cancel{m_2} * T^2}{d^2 * 4 * \pi^2} \\ \frac{M}{d} = \frac{d^2 * 4 * \pi^2}{G*T^2} \\ M = \frac{4 * \pi^2 * d^3}{G * T^2} \\ \\ M = \frac{4 * \pi^2 * \left(10^9 m \right)^3} {6.67 * 10^{-11} \frac{m^3}{kg * s^2} * \left(10^5 s \right)^2} \\ M = \frac{4 * \pi^2 * 10^{27} \cancel{m^3}} {6.67 * 10^{-11} \frac{\cancel{m^3}}{kg * \cancel{s^2}} * 10^{10} \cancel{s^2}} \\ M = \frac{4 * \pi^2}{6.67} * \frac{10^{27}}{10^{-1}} kg \\ M = \frac{4 * \pi^2}{6.67} * 10^{28} kg \\ \color{red}{M \approx 6 * 10^{28} kg}\end{split}\]

PODSUMOWANIE

Wzory z Działu 1:

Siła Grawitacji

\[F_g = G * \frac{m * M}{r^2}\]

Informacja

m - masa ciała krążącego

M - masa ciała okrążanego

r - odległość pomiędzy środkami mas

Ważne

\(G = 6.67 * 10^{-11} \frac{m^3}{kg * s^2}\)

Natężenie pola Grawitacyjnego

\[\gamma = \frac{F_g}{m} = G * \frac{M}{r^2}\]

Wskazówka

wartość natężenia pola grawitacyjnego jest równa wartości przyspieszenia grawitacyjnego (na Ziemi \(g \approx 9.81 \frac{m}{s^2}\))

III Prawo Kepplera

\[\frac{r_1^3}{T_1^2} = \frac{r_2^3}{T_2^2} = \frac{G * M}{4 * \pi^2}\]

Ważne

To prawo można stosować do ciał okrążających ten sam obiekt.

Praca

\[W_{z~~A \rightarrow B} = - G * m * M * \left( \frac{1}{r_b} - {1}{r_a} \right)\]

Wskazówka

Jeżeli ciało przeniesiono z nieskończoności, oznacza to, że \(\frac{1}{r_a} = \frac{1}{\infty} \approx 0\)

Energia

\[E_p = \frac{-G * M * m}{r}\]

Potencjał grawitacyjny

\[V = \frac{E_p}{m} = \frac{-G * M}{r}\]

I Prędkość kosmiczna

\[v_1 = \sqrt{\frac{G * M}{r}}\]

II Prędkość kosmiczna

\[v_2 = \sqrt{2 * \frac{G * M}{r}}\]

środek masy

Ważne

szersza definicja (dla układu wielu ciał) mówi, że środek Masy należy wyliczyć korzystając ze średniej ważonej mas i odległości. Niniejszy wzór odnosi się do układu dwóch ciał.

\[r_{śr m} = \frac{r * M}{m + M}\]