Pole Elektryczne

Ładunek Elektryczny

Ładunek

Każde ciało posiada ładunek dodatni, ujemny lub obojętny. Ładunek ten możemy zapisać jako \(q = n * e ~~~ n \in \mathbb{N}\). Najmniejszy ładunek elementarny \(e = 1.6 * 10^{-19} C\).

Ważne

Suma algebraiczna ładunków układu izolowanego jest stała.

Siła Elektrostatyczna

Zależność sformułowana przez francuskiego fizyka Charles’a Culomba zwana Prawem Culomba. Pomiędzy dwoma ciałami oddziałuje siłą elektrostatyczna, którą możemy wyrazić wzorem

(1)\[F =\frac{k * q_1 * q_2}{r^2}\]

gdzie:

• \(q_1\) - ładunek pierwszego ciała

• \(q_1\) - ładunek drugiego ciała

• r to odległość między dwoma ciałami

• k jest stałą zależną od ośrodka tj.:

\[\begin{split}k_0 = 8.9 * 10^{9} \frac{N * m^2}{C^2} \\ k_{powietrza} \approx k_0\end{split}\]

ogólnie stałą k możemy wyliczyć ze wzoru \(k = \frac{1}{4 * \pi * \epsilon_0 * \epsilon_r}\)

gdzie \(\epsilon_0 = 8.85 * 10^{-12}\), a \(\epsilon_r\) to względna przenikalność elektryczna ośrodka

Informacja

\(\epsilon_{powietrza} \approx \epsilon_0\)

Zadanie 1

zadanie

W jakiej odległości r od punktowego ładunku o wartości \(Q = 16 * 10^{-10} C\), zanurzonego w destylowanej wodzie, natężenie pola elektrycznego wynosi \(E = 0.4 \frac{V}{m}\)? Stała dielektryczna (zwana też względną przenikalnością elektryczną) wody \(\epsilon = 81\).

dane

\(Q = 16 * 10^{-10} C\)

\(E = 0.4 \frac{V}{m}\)

\(\epsilon_r = 81\)

\(r = ?\)

rozwiązanie

Zadanie polega praktycznie na podstawieniu danych do wzoru. Jedyną trudnością, jest przypomnienie sobie wzoru na k, które nie jest podane w zadaniu.

\[k = \frac{1}{4\pi*\epsilon_0*\epsilon_r}\]

Wiąże się to również z przypomnieniem wartości przenikalności elektrycznej próżni.

\[\epsilon_0 = 8.85 * 10^{-12} \frac{m^2}{N*C^2}\]

Najpierw należy przekształcić wzory, aby móc wyliczyć r:

\[\begin{split}E = \frac{k * Q}{r^2} \\ E = \frac{Q}{4 \pi * \epsilon_0 * \epsilon_r * r^2} \\ r^2 = \frac{Q}{4 \pi * \epsilon_0 * \epsilon_r * E} \\ r = \sqrt{\frac{Q}{4 \pi * \epsilon_0 * \epsilon_r * E}} \\\end{split}\]

Teraz podstawienie to już bułka z masłem

\[\begin{split}r = \sqrt{\frac{16 * 10^{-10}}{4 \pi * 8.85 * 10^{-12} * 81 * 0.4}} m \\ r = \sqrt{\frac{16 * 10^{-10}}{4 * 81 * 4 * \pi * 8.85 * 10^{-13}}} m \\ r = \sqrt{\frac{10^{3}}{81 * \pi * 8.85}} m \\ r = \frac{10}{9} * \sqrt{\frac{10}{\pi * 8.85}} m \\ r \approx \frac{10}{9} * \sqrt{0.36} m = \frac{10}{9} * \frac{6}{10} = \color{yellow}{\frac{2}{3}} \\\end{split}\]

Elektryzowanie się ciał

Nie jest zdefiniowane czy dany materiał naładuje się dodatnio czy ujemnie. Determinuje to następujący schemat:

+

• powietrze

• ludzka skóra

• sierść królika

• szkło

• ludzkie włosy

• nylon

• wełna

• jedwab

• aluminium

• papier

• bawełna

• stal

• drewno

• twarda guma

• nikiel i miedź

• mosiądz i srebro

• złoto i platyna

• sztuczny jedwab

• poliester i folia przyczepna

• polietylen

• PCW

• silikon

• teflon

-

przy elektryzowaniu dwóch ciał, to znajdujące się wyżej naładuje się dodatnio, to niżej - ujemnie

Sposoby elektryzowania ciał

Naelektryzowanie może nastąpić poprzez:

• pocieranie (wykonanie pracy)

• zbliżenie ciała obojętnego do naelektryzowanego

• indukcję

Przewodniki i izolatory

w przewodnikach znajdują się swobodne cząsteczki naelektryzowane, które mogą się poruszać.

Takimi materiałami są na przykład: - metale - elektrolity - zjonizowane gazy - grafit

Elektryzowanie przez zbliżenie ciał

Jeżeli ciało będące izolatorem zbliżymy do ciała naelektryzowanego, ładunki pozostaną w miejscu styczności, Jeżeli ciało obojętne jest przewodnikiem, ładunki te rozproszą się po całym ciele

Natężenie pola elektrycznego

Natężenie pola elektrycznego oznaczane jest literą E a jego wartość, analogicznie jak w przypadku pola grawitacyjnego, równa jest stosunkowi siły działającej na ładunek próbny dodatni i jego wartości

(2)\[\begin{split}E = \frac{\vec{F}}{q} \\ E = \frac{k * Q}{r^2}\end{split}\]

Ważne

Prawo Culomba można stosować jedynie do ładunków o symetrii sferycznej.

Informacja

W przypadku pól elektrycznych obowiązuje zasada superpozycji pól tzn, że natężenie pola wytworzone przez układ ładunków równe jest sumie wektorowej natężeń wytworzonych w tym punkcie przez poszczególne ładunki. Zależność tą opisuje wzór: \(\vec{E} = \vec{E_1}+\vec{E_2} + ... + \vec{E_n}\)

Praca i Energia w polu elektrycznym

Potencjał elektryczny

Potencjał pola elektrycznego określa energię, którą posiada ciało w danym punkcie pola.

Analogicznie jak w przypadku potencjału grawitacyjnego równy jest w danym punkcie pola stosunkowi energii potencjalnej ładunku próbnego (dodatniego) umieszczonego w tym punkcie do jego wartości. Tą zależność wyraża wzór:

(3)\[V = \frac{E_p}{q}\]

Jednostka potencjału elektrostatycznego to Volt \(1 V = \frac{1 J}{1 C}\)

Praca w polu elektrycznym

Pracę w polu elektrycznym określa (analogicznie jak w polu grawitacyjnym) następujący wzór:

(4)\[W = k * q * Q * \left( \frac{1}{r_b} - \frac{1}{r_a} \right)\]

Wskazówka

Praca na drodze zamkniętej jest równa 0!

Energia potencjalna

Energia potencjalna w polu elektrycznym określa energię, jaką posiada ciało w danej odległości od ładunku elektrycznego.

\[E_p = \frac{k * Q}{r}\]

gdzie:

• k to stałą elektryczna

• Q to ładunek ciała centralnego (oddziałującego na ładunek próbny dodatni w odległości r)

• r - odległość ładunków

Wskazówka

Praca jest równa zmianie energii (\(W=\Delta E\))

Informacja

można więc zauważyć, że potencjał elektryczny można zapisać też jako \(V = k * \frac{Q}{r}\)

Zadanie 1

zadanie

Cząsteczka o ładunku elektrycznym \(q = -4 * 10^{-8}C\) i masie \(m = 6 * 10^{-4} kg\) porusza się w próżni wokół ładunku \(Q = 5 * 10^-8 C\) po okręgu o promieniu \(R = 3 cm\). Oblicz okres tego ruchu jeżeli masa centralnego ładunku jest dużo większa od masy krążącego ładunku.

dane i szukane

• \(q = -4 * 10^{-8} C\)

• \(m = 6 * 10^{-4} kg\)

• \(Q = 5 * 10^{-8} C\)

• \(R = 3 cm = 3 * 10^{-2} m\)

• \(k_0 = 8.9 * 10^9\)

• \(T = ?\)

rozwiązanie

wiemy, że ładunek q krąży wokół ładunku Q. Oznacza to, że działa na niego siłą odśrodkowa (\(F_d\)) oraz, że ta siła ma taką samą wartość jak działająca pomiędzy ładunkami różnoimiennymi siła oddziaływań elektrostatycznych.

Siły te mają ten sam kierunek (równoległy do promienia okręgu), ale przeciwny zwrot. Dlatego możemy zapisać następującą zależność:

\[\begin{split}F_d + F_e = 0 \\ F_d = - F_e\end{split}\]

Siłę dośrodkową możemy opisać wzorem \(F_d = \frac{m * v^2}{r}\). Prędkość w ruchu po okręgu to \(v = \frac{2 * \pi * r}{T}\) Teraz należy tylko wyliczyć okres obrotu:

\[\begin{split}\frac{m v^2}{\cancel{R}} = - k \frac{q * Q}{R^{\cancel{2}}} \\ m * \left(\frac{2 * \pi * R}{T}\right)^2 = - k \frac{q * Q}{R} \\ m * \left(2 \pi \right)^2 R^3 = - k * q * Q * T^2 \\ T = \sqrt{- \frac{m * \left(2 \pi \right)^2 R^3}{k * q * Q}} \\ T = 2 \pi R * \sqrt{- \frac{m * R}{k * q * Q}}\end{split}\]

Teraz możemy podstawić liczby

\[\begin{split}T = 2 * \pi * 3 * 10^{-2} m * \sqrt{-\frac{6 * 10^{-4} kg * 3 * 10^{-2} m}{8.9*10^9 \frac{N * m^2}{C^2}*(-4)*10^{-8}*5*10^{-8}}} \\ T = 6 * \pi * \sqrt{\frac{18}{8.9*20}*10} s \\ \color{yellow}{T \approx 18.95 s}\end{split}\]

Prawo Gaussa

Strumień natężenia pola elektrycznego

Strumień \(\Phi\) pola elektrycznego przez powierzchnię S definiujemy jako iloczyn skalarny wektora powierzchni S i natężenia pola elektrycznego E.

\[\Phi = E * s * cos \alpha\]

gdzie \(\alpha\) jest kątem pomiędzy wektorem natężenia a normalną powierzchni (linią prostopadłą do niej)

Przykładowo: ładunek q otoczono powierzchnią sferyczną. Na tej powierzchni zaznaczono natężenie pola elektrycznego (prostopadłe do powierzchni) Więc możemy zapisać następujące równania:

\[\begin{split}\Phi = E * s * cos \alpha \\ alpha = 0 \Rightarrow cos \alpha = 1 \\ \Phi = \frac{k Q}{\cancel{r^2}} * 4 \pi * \cancel{r^2} \\ \Phi = 4 \pi * k * Q \\ \Phi = \frac{\cancel{4 \pi} * Q}{\cancel{4 \pi} \epsilon_0 * \epsilon_r} \\\end{split}\]

Prawo Gaussa

Tym ostatnim wzorem jest właśnie Prawo Gaussa:

\[\begin{split}\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0 * \epsilon_r} \\\end{split}\]

Strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię równy jest całkowitemu ładunkowi zamkniętemu wewnątrz tej powierzchni dzielonemu przez przenikalność elektryczną danego ośrodka.

Przykłady zastosowania

Płyta

Natężenie pola elektrycznego przy nieskończenie rozciągłej płycie naładowanej z jednakową gęstością \(\sigma\).

gęstość ładunków \(\sigma = \frac{Q}{s}\)

Na tej płycie linie pola są prostopadłe do niej oraz równoległe do siebie. Załóżmy, że fragment płyty zamkniemy w powierzchni zamkniętej w kształcie walca tak, że powierzchnia boczna będzie prostopadłą do powierzchni płyty. Obliczmy strumień przez tę powierzchnię.

\[\Phi = \Phi_b + \Phi_p + \Phi_p\]

widzimy, że strumień przechodzący przez cały walec jest sumą strumienia przez jego powierzchnię boczną oraz dwie podstawy.

Teraz przypomnijmy sobie zasady z początku tematu. Jeżeli wektor jest równoległy do powierzchni bocznej, strumień przechodzący przez tą powierzchnię jest równy 0, gdyż \(\alpha = 90^o \Rightarrow cos \alpha\). Pozostaje nam w takim razie tylko strumień przez oba „denka”

\[\begin{split}\Phi &= 2 * \Phi_p \\ \Phi &= 2 * E * s \\ \Phi &= 2 * k * Q * 4 \pi \\ \Phi &= \frac{2 * Q}{\epsilon_0 * \epsilon_r} \\ \Phi &= \frac{2 * Q}{\epsilon_0 * \epsilon_r} \\ \Phi &= \frac{2 * \sigma * s}{\epsilon_0*\epsilon_r} \\\end{split}\]

powróćmy teraz do prawa Gaussa

Ostrzeżenie

Praca nad tym działem wciąż trwa…

Nić

Pole wytworzone nieskończenie długą nić: Zauważmy, że linie pola są prostopadłe do nici (w uproszczeniu przypominają szczotkę do czyszczenia butelek).

\[E = \frac{\lambda}{2 * \pi * \epsilon_0 * r}\]